Equação da Reta Tangente

A equação de uma reta é:

Aonde esse é o nosso coeficiente angular da reta e ele será justamente a derivada da curva naquele ponto, ou seja:

Além disso, sabemos que é uma função de , . Sendo assim . Então a equação geral da reta tangente é:

Só que queremos determinar a reta tangente no ponto , então:

Queremos então:

Vamos descobrir para isso basta substituir na equação

Certo, já dá para substituir alguma coisa:

Falta agora determinar . Para tal, derivamos nossa função :

Assim no ponto

Pronto! Já temos nossa reta:

Entao:

Olhe só que coisa linda:

Primeiro temos que lembrar que equação geral da reta tangente é:

é um ponto em na curva. Então, agora o que temos que saber para achar a reta tangente é a nossa derivada para depois substituir o nosso na equação.

Vamos lá!

Então vamos derivar nossa função:

Como

E

A nossa derivada fica assim:

Pronto! Achamos a derivada, então vamos resolver a letra

a)

Repara que o enunciado forneceu qual que ele quer! No ponto . Então vamos substituir na fórmula

Então, galerinha, antes de começar a calcular só relembrando: csc e

Agora vamos lá! Calculando temos

Agora vamos para derivada ,

Pronto! Já podemos substituir esses valores na fórmula. A nossa reta fica assim:

Então a equação da reta tangente à curva em é:

Olhe como fica:

Agora a letra . Pode parecer complicado aqui o fato de você não sabe as coordenadas do ponto Q. Para não confundir, vamos chamar aqui no de , pois queremos a tangente neste ponto , ok?

Mas neste caso, o pulo do gato está no enunciado ter dito que a tangente nesse ponto é horizontal. Se a tangente é horizontal, o coeficiente dela é zero! Em outras palavras,

Então para achar quem é meu , eu preciso saber qual ponto minha derivada é zero,

O cosseno é igual em:

Existem muitos outros pontos onde o cosseno é igual a ½, mas este é o ponto que queremos, pois, olhando no gráfico do enunciado:

Vemos que a coordena de está entre e . O único ponto onde o cosseno é ½ entre esses valores é .

Pronto! Já temos o ponto . Agora é substituir na fórmula:

Vamos voltar a nossa equação original e descobrir :

Então:

Lembra que a nossa derivada no ponto é igual a zero?

substituir esses valores na fórmula. A nossa reta fica assim:

Então a equação da reta tangente à curva em é:

Vamos começar pela letra .

Olhando para a equação da reta tangente:

Temos que é o ponto de tangência. Mas se olharmos pro enunciado vamos ver que a reta é tangente em , então:

Substituindo:

Olhando o gráfico, é perceptível que a reta que queremos calcular toca o eixo no ponto .

Então é um ponto dessa reta. Assim:

Portanto:

Tá, mas qual o valor de ? Aí vem a outra sacada. No gráfico também está o ângulo de inclinação da reta. A tangente desse ângulo é seu coeficiente angular que também será a derivada da curva naquele ponto:

Já temos todos os valores agora:

Se a gente ajeitar melhor, vamos chegar que equação da reta é:

Vamos para a letra agora.

Já na letra vimos que:

Opa! Já matamos😊

Letra (tá acabando)!

Considerando a equação geral da reta tangente de novo, mas agora para :

Pelo gráfico do enunciado o ponto de tangencia da reta é em :

Assim, a equação ficará:

Ainda temos mais algumas coisas aí. Assim, como aconteceu com , a reta também cruza o eixo , mas quando . Logo passa pelo ponto usando isso temos:

Show! Mais uma relação maneira, então dá para escrever:

Como achar ? Olhando para o gráfico (sempre ele), vemos que as retas e se encontram quando . Assim, nesse ponto temos que:

Mas encontramos

E

Substituindo e igualando :

Finalmente, substituindo esse valor em e aí temos que a equação da reta é:

Acabou? Quase, porque a letra a gente tira fácil desta relação que encontramos na :

Sendo:

Que também foi calculado anteriormente, então: